Question

18．求函數(shù)y=sin²x+3cosx+2，|x|≤$\frac{π}{3}$的最值．

Answer 1

分析 利用平方關系化簡解析式，設t=cosx，由x的范圍、余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)求出t的范圍，代入原函數(shù)后利用配方法化簡，由一元二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)求出函數(shù)的最值．

解答 解：由題意得，y=sin²x+3cosx+2
=-cos²x+3cosx+3，
設t=cosx，由|x|≤$\frac{π}{3}$得$t∈[\frac{1}{2}，1]$，
原函數(shù)化為：y=-t²+3t+3=$-（t-\frac{3}{2}）^{2}+\frac{21}{4}$，
∴y=-t²+3t+3在區(qū)間$[\frac{1}{2}，1]$上遞增，
則當t=$\frac{1}{2}$時，即x=±$\frac{π}{3}$時，函數(shù)取到最小值是$\frac{17}{4}$，
當t=1時，即x=$\frac{π}{2}$時，函數(shù)取到最大值是5．

點評 本題考查了利用換元法求三角函數(shù)的最值，平方關系、余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，以及一元二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查化簡、變形能力．