Question

8．已知△ABC，P為三角形所在平面上的動點，且滿足：$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PC}$=$\overrightarrow{PA}$$•\overrightarrow{PB}$=$\overrightarrow{PB}$$•\overrightarrow{PC}$，則P為三角形的（　�。�

• A． 外心
• B． 內(nèi)心
• C． 重心
• D． 垂心

Answer 1

分析 由題意可得$\overrightarrow{PA}$•（$\overrightarrow{PC}$-$\overrightarrow{PB}$）=0，即為$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{BC}$=0，即$\overrightarrow{PA}$⊥$\overrightarrow{BC}$，同理可得$\overrightarrow{PB}$⊥$\overrightarrow{CA}$．由垂心的定義，即可得到結(jié)論．

解答 解：P為三角形所在平面上的動點，且滿足：$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PC}$=$\overrightarrow{PA}$$•\overrightarrow{PB}$=$\overrightarrow{PB}$$•\overrightarrow{PC}$，
可得$\overrightarrow{PA}$•（$\overrightarrow{PC}$-$\overrightarrow{PB}$）=0，即為$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{BC}$=0，即$\overrightarrow{PA}$⊥$\overrightarrow{BC}$；
同理$\overrightarrow{PB}$•（$\overrightarrow{PA}$-$\overrightarrow{PC}$）=0，$\overrightarrow{PB}$•$\overrightarrow{CA}$=0，即$\overrightarrow{PB}$⊥$\overrightarrow{CA}$．
故有P為三角形ABC的垂心．
故選：D．

點評 本題考查向量的數(shù)量積的性質(zhì)，考查向量垂直的條件和三角形的垂心的定義，屬于基礎(chǔ)題．