Question

如圖,四棱錐P—ABCD,面PAD⊥面ABCD,△PAD是等邊三角形,底面ABCD是矩形,AB∶AD=∶1,F是AB的中點(diǎn).

(1)求證:面PCD⊥面PAD;

(2)求PC與平面ABCD所成的角;

(3)求二面角PFCB的度數(shù).

Answer 1

解：取AD的中點(diǎn)G,連結(jié)PG、CG.

(1)∵△ADP為正三角形,∴PG⊥AD.

又面PAD⊥面ABCD,AD為交線,∴PG⊥面ABCD.∴PG⊥CD.又AD⊥CD,

∴CD⊥面PAD.∴面PCD⊥面PAD.

(2)由(1)知PG⊥面ABCD,則∠PCG為PC與平面ABCD所成的角.

設(shè)AD=a,則PG=a,CD=a.

在Rt△GDC中,GC=.

在Rt△PGC中,tan∠PCG=.

∴∠PCG=30°,即PC與平面ABCD成30°角.

(3)連結(jié)GF,則GF=a.

而FC=a,

在△GFC中,GC²=GF²+FC²,∴GF⊥FC.連結(jié)PF,由PG⊥平面ABCD知PF⊥FC,則∠PFG即為二面角PFCD的平面角.在Rt△PFG中,PG=GF=a.

∴∠FPG=45°,二面角PFCB的度數(shù)為135°.