Question

已知橢圓E：

x2

a2

+y2=1(a＞1)的上頂點為M（0，1），兩條過M點動弦MA、MB滿足MA⊥MB．
（1）當坐標原點到橢圓E的準線距離最短時，求此時橢圓E的方程；
（2）若直角三角形MAB的面積的最大值為

27

8

，求a的值；
（3）對于給定的實數(shù)a（a＞1），動直線是否經(jīng)過一個定點？如果經(jīng)過，求出該定點的坐標（用a表示）否則，說明理由．

Answer 1

分析：（1）求出坐標原點到橢圓E的準線距離最短時c=1，利用a²=b²+c²，即可求得橢圓E的方程；
（2）設直線MA的方程為y=kx+1，直線MB的方程為y=-

1

k

x+1，分別代入橢圓E的方程，求得A、B的坐標，從而可求直角三角形MAB的面積，利用最大值為

27

8

，可求a的值；
（3）由（2）知直線l的斜率，從而可求直線l的方程，由此可得直線l過定點．

解答：解：（1）坐標原點到橢圓E的準線距離為d=

a2

c

=

c2+1

c

≥2，當且僅當c=1時，坐標原點到橢圓E的準線距離最短
∵c=1，b=1，∴a²=b²+c²，∴a²=2
∴橢圓E的方程為

x2

2

+y2=1
（2）由MA⊥MB，可知直線MA與坐標軸不垂直，
故可設直線MA的方程為y=kx+1，直線MB的方程為y=-

1

k

x+1
將y=kx+1代入橢圓E的方程，整理得  （1+a²k²）x²+2a²kx=0
解得x=0或x=

-2a2k

1+a2k2

，故點A的坐標為(

-2a2k

1+a2k2

，

1-a2k2

1+a2k2

)
同理，點B的坐標為(

2a2k

k2+a2

，

k2-a2

k2+a2

)
∴S=

1

2

1+k2

2a2|k|

1+a2

×

1+ 1 k2

2a2|k|

k2+a2

=

2a4(k2+1)|k|

(1+a2k2)(k2+a2)

=2a4×

|k|+ 1 |k|

(1+a2k2)(1+ a2 k2 )

=2a4×

t

(1+a4)+a2(t2-2)

=

2a4

(1-2a2+a4) t +a2t

≤

2a4

2a(a2-1)

=

a3

a2-1

=

27

8

，
解得a=3
（3）由（2）知直線l的斜率為

k2-a2 k2+a2 - 1-a2k2 1+a2k2

2a2k k2+a2 - -2a2k 1+a2k2

=

k2-1

(a2+1)k

直線l的方程為y=

k2-1

(a2+1)k

(x-

2a2k

k2+a2

)+

k2-a2

k2+a2

，即y=

k2-1

(a2+1)k

x-

a2-1

a2+1

∴直線l過定點(0，-

a2-1

a2+1

)

點評：本題考查橢圓方程，考查三角形的面積，考查直線過定點，解題的關(guān)鍵是正確求出三角形的面積、直線的方程．