Question

【題目】已知四棱錐，四邊形是正方形， ．

（1）證明：平面平面；

（2）若為的中點(diǎn)，求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】(1)見解析(2)

【解析】試題分析：（1）由可得，即，由為正方形，可得，從而得平面，由面面垂直的判定定理可得平面平面；（2）設(shè)的中點(diǎn)為，∵，∴，面面垂直的性質(zhì)可得平面，在平面內(nèi)，過作直線，則兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)， 所在直線為軸， 軸， 軸，建立空間直角坐標(biāo)系，分別根據(jù)向量垂直數(shù)量積為零列方程組求出平面與平面的一個(gè)法向量，根據(jù)空間向量夾角余弦公式，可得結(jié)果.

試題解析：（1）∵，

∴，即，

又∵為正方形，∴，

∵，

∴平面，∵平面，∴平面平面；

（2）

設(shè)的中點(diǎn)為，∵，∴，

由（1）可知平面平面，且平面平面，

∴平面，

在平面內(nèi)，過作直線，則兩兩垂直．

以為坐標(biāo)原點(diǎn)， 所在直線為軸， 軸， 軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

則，

∴，

設(shè)平面的法向量為，

則， ，即，取，

設(shè)平面的法向量為，

則， ，即，取，

，由圖可知，二面角的余弦值為．

【方法點(diǎn)晴】本題主要考查面面垂直的判定定理以及利用空間向量求二面角，屬于難題.空間向量解答立體幾何問題的一般步驟是：（1）觀察圖形，建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；（2）寫出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，求出相應(yīng)直線的方向向量；（3）設(shè)出相應(yīng)平面的法向量，利用兩直線垂直數(shù)量積為零列出方程組求出法向量；（4）將空間位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量關(guān)系；（5）根據(jù)定理結(jié)論求出相應(yīng)的角和距離.