Question

【題目】設(shè)l為曲線C：y= 在點(diǎn)（1，0）處的切線．
（Ⅰ）求l的方程；
（Ⅱ）證明：除切點(diǎn)（1，0）之外，曲線C在直線l的下方．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵y=
∴
∴l(xiāng)的斜率k=y′|x=1=1
∴l(xiāng)的方程為y=x﹣1
（Ⅱ）證明：令f（x）=x（x﹣1）﹣lnx，（x＞0）
曲線C在直線l的下方，即f（x）=x（x﹣1）﹣lnx＞0，
則f′（x）=2x﹣1﹣ =
∴f（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增，又f（1）=0
∴x∈（0，1）時，f（x）＞0，即 ＜x﹣1
x∈（1，+∞）時，f（x）＞0，即 ＜x﹣1
即除切點(diǎn)（1，0）之外，曲線C在直線l的下方
【解析】（Ⅰ）求出切點(diǎn)處切線斜率，代入代入點(diǎn)斜式方程，可以求解；（Ⅱ）利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而分析出函數(shù)圖象的形狀，可得結(jié)論．