Question

5．如圖，在四棱錐E-ABCD中，地面ABCD為矩形，AD⊥平面ABE，AE=EB=BC=2，F(xiàn)為CE上的點，且BF⊥平面ACE，AC與BD相交于點G．
（1）求證：AE∥平面BFD；
（2）求證：AE⊥平面BCE；
（3）求三棱錐A-BCE的體積．

Answer 1

分析 （1）由四邊形ABCD是正方形可得：G是AC的中點，利用BF⊥平面ACE，可得CE⊥BF，又BC=BE，可得F是EC中點，于是FG∥AE，利用線面平行的判定定理即可證明：AE∥平面BFD；
（2）由AD⊥平面ABE，AD∥BC，可得BC⊥平面ABE，BC⊥AE，可得AE⊥BF，即可證明AE⊥平面BCE．
（3）由（2）知AE為三棱錐A-BCE的高，利用三棱錐A-BCE的體積V=$\frac{1}{3}{S}_{△BCE}×AE$即可得出．

解答 （1）證明：由四邊形ABCD是正方形，
∴G是AC的中點，
∵BF⊥平面ACE，CE?平面ACE，
則CE⊥BF，而BC=BE，
∴F是EC中點，
在△AEC中，連接FG，則FG∥AE，
又 AE?平面BFD，F(xiàn)G?平面BFD，
∴AE∥平面BFD；
（2）證明：∵AD⊥平面ABE，AD∥BC，
∴BC⊥平面ABE，AE?平面ABE，則BC⊥AE，
又∵BF⊥平面ACE，AE?平面ACE，
則AE⊥BF，
且BC∩BF=B，BC?平面BCE，
∴BF?平面BCE．
∴AE⊥平面BCE．
（3）解：由（2）知AE為三棱錐A-BCE的高，
∵BC⊥平面ABE，BE?平面ABE，
∴BC⊥BE，AE=EB=BC=2，
∴S_△BCE=$\frac{1}{2}BC×BE$=$\frac{1}{2}×2×2$=2，
∴三棱錐A-BCE的體積V=$\frac{1}{3}{S}_{△BCE}×AE$=$\frac{1}{3}×2×2$=$\frac{4}{3}$．

點評 本題主要考查了線面面面垂直與平行的判定性質定理、正方形的性質與三棱錐的體積計算公式、三角形中位線定理等基礎知識，考查空間想象能力、推理論證能力、運算求解能力、化歸與轉化能力，屬于中檔題．