Question

【題目】已知圓心在x軸正半軸上的圓C與直線相切，與y軸交于M，N兩點，且．

Ⅰ求圓C的標準方程；

Ⅱ過點的直線l與圓C交于不同的兩點D，E，若時，求直線l的方程；

Ⅲ已知Q是圓C上任意一點，問：在x軸上是否存在兩定點A，B，使得？若存在，求出A，B兩點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（I）；（II）或；（III）存在，或，滿足題意.

【解析】

設圓C的方程為，利用點C到直線的距離為，求出a，即可求圓C的標準方程；

Ⅱ設直線l的方程為即，則由題意可知，圓心C到直線l的距離，即可求出k的值，

Ⅲ方法一：假設在x軸上存在兩定點，，設是圓C上任意一點，由題意可得則，即可求出a，b的值，

方法二：設是圓C上任意一點，由得，對照圓C的標準方程即，可得，解得即可．

解：Ⅰ由題意知圓心，且，

由知中，，，則，

于是可設圓C的方程為

又點C到直線的距離為，

所以或舍，

故圓C的方程為，

Ⅱ設直線l的方程為即，則由題意可知，圓心C到直線l的距離，

故，解得，

又當時滿足題意，

因此所求的直線方程為或，

Ⅲ方法一：假設在x軸上存在兩定點，，設是圓C上任意一點，則即，

則，

令，

解得或，

因此存在，，或，滿足題意，

方法二：設是圓C上任意一點，

由得，

化簡可得，

對照圓C的標準方程即，

可得，

解得解得或，

因此存在，或，滿足題意．