Question

已知函數f（x）=

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x³+ax²-bx（a，b∈R），若在y=f（x）圖象上的點（1，-

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）處的切線斜率為-4，
（Ⅰ） 求a，b的值．
（Ⅱ） 求y=f（x）的極大、極小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求f（x）的導函數f′（x），由點（1，-

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）在f（x）的圖象上，且該點處的切線斜率為-4，可得a、b的值；
（Ⅱ）由f（x）的導函數f′（x）=0，可得f′（x）＞0或＜0時與f（x）增減關系，從而求得f（x）的極大值與極小值．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=

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x³+ax²-bx（a，b∈R），∴f′（x）=x²+2ax-b；
又∵y=f（x）圖象上的點（1，-

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）處的切線斜率為-4，∴f′（1）=-4，即1+2a-b=-4①；
∵點（1，-

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）在f（x）圖象上，∴

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+a-b=-

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，即a-b+4=0②；
由①、②解得

a=-1 b=3

；
（Ⅱ）由（1）得f（x）=

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x³-x²-3x，∴f′（x）=x²-2x-3=（x-3）（x+1）；
令f′（x）=0，解得x=-1或x=3；列表如下，

x	（-∞，-1）	-1	（-1，3）	3	（3，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	極大值	↘	極小值	↗

∴y=f（x）的極大值為f（x）_極大值=f（-1）=

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，極小值為f（x）_極小值=f（3）=-9．

點評：本題考查了利用導數求曲線上某點切線方程的斜率與研究函數的單調區(qū)間以及根據函數的增減性得到函數的極值問題，是中檔題．