Question

12．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)F（1，0）的距離比它到y(tǒng)軸的距離多1．
（Ⅰ）求點(diǎn)P的軌跡E的方程；
（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)F任作直線(xiàn)l，交曲線(xiàn)E于A，B兩點(diǎn)，交直線(xiàn)x=-1于點(diǎn)C，M是AB的中點(diǎn)，求證：|CA|•|CB|=|CM|•|CF|．

Answer 1

分析 （Ⅰ）依題意，點(diǎn)P的軌跡E是以F為焦點(diǎn)，以直線(xiàn)x=-1為準(zhǔn)線(xiàn)的拋物線(xiàn)，由此能求出E的方程．
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)A，B，M，F(xiàn)在準(zhǔn)線(xiàn)上的投影分別為A₁，B₁，N，H，要證|CA|•|CB|=|CM|•|CF|，只需證|CA₁|•|CB₁|=|CN|•|CH|，設(shè)直線(xiàn)AB的方程為x=my+1，代入y²=4x，得y²-4my-4=0，由此入手能證明|CA|•|CB|=|CM|•|CF|．

解答 解：（Ⅰ）依題意，點(diǎn)P到點(diǎn)F（1，0）的距離與它到直線(xiàn)x=-1的距離相等，
∴點(diǎn)P的軌跡E是以F為焦點(diǎn)，以直線(xiàn)x=-1為準(zhǔn)線(xiàn)的拋物線(xiàn)，
∴E的方程為y²=4x．…（5分）
證明：（Ⅱ）根據(jù)對(duì)稱(chēng)性只考慮AB的斜率為正的情形，
設(shè)點(diǎn)A，B，M，F(xiàn)在準(zhǔn)線(xiàn)上的投影分別為A₁，B₁，N，H，
要證|CA|•|CB|=|CM|•|CF|，就是要證$\frac{{|{CA}|}}{{|{CM}|}}=\frac{{|{CF}|}}{{|{CB}|}}$，
只需證$\frac{{|{C{A_1}}|}}{{|{CN}|}}=\frac{{|{CH}|}}{{|{C{B_1}}|}}$，即證|CA₁|•|CB₁|=|CN|•|CH|…①
設(shè)直線(xiàn)AB的方程為x=my+1，代入y²=4x，得y²-4my-4=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則y₁+y₂=4m…②，y₁y₂=-4…③，
在x=my+1中，令x=-1，得$y=\frac{-2}{m}$，即$C（{-1，\frac{-2}{m}}）$
因此，要證①式成立，只需證：$（{{y_1}-{y_c}}）•（{{y_2}-{y_c}}）=（{\frac{{{y_1}+{y_2}}}{2}-{y_c}}）•（{-{y_c}}）$
只需證：${y_1}{y_2}-\frac{{{y_1}+{y_2}}}{2}{y_c}=0$…④，
由②③兩式，可知${y_1}{y_2}--\frac{{{y_1}+{y_2}}}{2}{y_c}=-4-2m（{-\frac{2}{m}}）=0$，
∴④式成立，∴原命題獲證．
∴|CA|•|CB|=|CM|•|CF|．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查點(diǎn)的軌跡方程的求法，考查兩組線(xiàn)段乘積相等的證明，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意拋物線(xiàn)性質(zhì)和等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的合理運(yùn)用．