Question

當(dāng)實數(shù)a，b變化時，直線（2a+b）x+（a+b）y+（a-b）=0與直線m²x+2y-n²=0都過一個定點，記點（m，n）的軌跡為曲線C，P為曲線C上任意一點．若點Q（2，0），則PQ的最大值為

 

．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關(guān)系

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：求出直線（2a+b）x+（a+b）y+（a-b）=0過定點（-2，3），直線m²x+2y-n²=0也過定點（-2，3），將點坐標(biāo)代入m²x+2y-n²=0，可得-2m²+6-n²=0，即點（m，n）在橢圓

m2

3

+

n2

6

=1上，即可求出PQ的最大值．

解答： 解：因為（2a+b）x+（a+b）y+a-b=（2x+y+1）a+（x+y-1）b=0對于任意的a，b都成立，所以2x+y+1=0且x+y-1=0，二者聯(lián)立，解得x=-2，y=3，即直線（2a+b）x+（a+b）y+（a-b）=0過定點（-2，3）．
因此直線m²x+2y-n²=0也過定點（-2，3），將點坐標(biāo)代入m²x+2y-n²=0，可得-2m²+6-n²=0，即點（m，n）在橢圓

m2

3

+

n2

6

=1上．
∵P為曲線C上任意一點，點Q（2，0），
∴PQ的最大值為2+

3

．
故答案為：2+

3

．

點評：本題考查直線與橢圓方程，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．