Question

已知數(shù)列{a_n}的通項公式為an=

n+1 2 ，n=2k-1(k∈N*) 2 n 2 ，n=2k(k∈N*).

設bn=

a2n-1

a2n

，Sn=b1+b2+…+bn．證明：當n≥6時，|Sn-2|＜

1

n

．

Answer 1

分析：由已知得，a2n-1=

2n-1+1

2

=n，a2n=2

2n

2

=2n，故bn=

a2n-1

a2n

=

n

2n

，Sn=b1+b2++bn=1×

1

2

+2×(

1

2

)2+3×(

1

2

)3++n(

1

2

)n，由錯位相減法知Sn=2-(n+2)(

1

2

)n．故|Sn-2|=(n+2)(

1

2

)n，問題轉化為證明：當n≥6時，n（n+2）＜2ⁿ，再用數(shù)學歸納法證明．

解答：解：由已知得，a2n-1=

2n-1+1

2

=n，a2n=2

2n

2

=2n，
故bn=

a2n-1

a2n

=

n

2n

，（2分）
Sn=b1+b2++bn=1×

1

2

+2×(

1

2

)2+3×(

1

2

)3++n(

1

2

)n（3分）

1

2

Sn=1×(

1

2

)2+2×(

1

2

)3+3×(

1

2

)4++(n-1)•(

1

2

)n+n•(

1

2

)n+1（4分）
兩式相減得，

1

2

Sn=

1

2

+(

1

2

)2+(

1

2

)3+(

1

2

)4++(

1

2

)n-n•(

1

2

)n+1=1-(

1

2

)n-n(

1

2

)n+1（5分）
化簡得Sn=2-(n+2)(

1

2

)n．故|Sn-2|=(n+2)(

1

2

)n（7分）
因而|Sn-2|＜

1

n

?(n+2)(

1

2

)n＜

1

n

?n(n+2)＜2n
問題轉化為證明：當n≥6時，n（n+2）＜2ⁿ，（9分）
采用數(shù)學歸納法．
（1）當n=6時，n（n+2）=6×8=48，2ⁿ=2⁶=64，48＜64，
此時不等式成立，（10分）
（2）假設n=k（k≥6）時不等式成立，即k（k+2）＜2^k，（11分）
那么當n=k+1時，2^k+1=2×2^k＞2k（k+2）=2k²+4k=k²+4k+k²＞k²+4k+3=（k+1）（k+3）=（k+1）[（k+1）+2]
這說明，當n=k+1時不等式也成立（13分）
綜上可知，當n≥6時，n（n+2）＜2ⁿ成立，原命題得證．（14分）

點評：本題考查數(shù)列的性質和綜合應用，解題時要注意合理地進行等價轉化和數(shù)學歸納法的證明過程．