Question

19．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=ax²+bx-4與x軸交于點A（-2，0）和點B，與y軸交于點C，直線x=1是該拋物線的對稱軸．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若兩動點M，H分別從點A，B以每秒1個單位長度的速度沿x軸同時出發(fā)相向而行，當(dāng)點M到達原點時，點H立刻掉頭并以每秒$\frac{3}{2}$個單位長度的速度向點B方向移動，當(dāng)點M到達拋物線的對稱軸時，兩點停止運動，經(jīng)過點M的直線l⊥x軸，交AC或BC于點P，設(shè)點M的運動時間為t秒（t＞0）．求點M的運動時間t與△APH的面積S的函數(shù)關(guān)系式，并求出S的最大值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)拋物線y=ax²+bx-4與x軸交于點A（-2，0），且直線x=1是該拋物線的對稱軸，構(gòu)造關(guān)于a，b的方程，解得拋物線的解析式；
（2）△APH的面積S=$\frac{1}{2}$AH•PM，分當(dāng)0＜t≤2時和當(dāng)2＜t≤3時兩種情況分別討論S的最大值，綜合討論結(jié)果，可得答案．

解答 解：（1）∵拋物線y=ax²+bx-4與x軸交于點A（-2，0），且直線x=1是該拋物線的對稱軸．
∴$\left\{\begin{array}{l}4a-2b-4=0\\-\frac{2a}=1\end{array}\right.$，
解得：a=$\frac{1}{2}$，b=-1，
∴拋物線的解析式為y=$\frac{1}{2}$x²-x-4；
（2）令$\frac{1}{2}$x²-x-4=0，得x=-2，或x=4，
故B點坐標(biāo)為（4，0），
令x=0，則$\frac{1}{2}$x²-x-4=-4，
故C點坐標(biāo)為（0，-4），
∴OB=OC=4，AB=6，
∴∠OBC=45°，
如圖1：
當(dāng)0＜t≤2時，
∵PM∥OC，
∴AM：OA=PM：OC，
∴t：2=PM：4，即PM=2t，
∵BH=t，
∴AH=6-t，
∴△APH的面積S=$\frac{1}{2}$AH•PM=$\frac{1}{2}$（6-t）2t=-t²+6t，
當(dāng)t=2時，S取最大值8；
如圖2：
當(dāng)2＜t≤3時，
BH=2-（t-2）×$\frac{3}{2}$=5-$\frac{3}{2}$t，
∴AH=6-BH=1+$\frac{3}{2}$t，
∵AM=t，
∴BM=6-t，
∴△APH的面積S=$\frac{1}{2}$AH•PM=$\frac{1}{2}$（1+$\frac{3}{2}$t）（6-t）=-$\frac{3}{4}$t²+4t+3，
當(dāng)t=$\frac{8}{3}$時，S取最大值$\frac{25}{3}$；
綜上所述：S的最大值為$\frac{25}{3}$；

點評 本題考查的知識點是二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是解答的關(guān)鍵．