Question

15．在平面直角坐標(biāo)系xOy中直線l₁的傾斜角為α，且經(jīng)過點(diǎn)P（1，-1），以坐標(biāo)系xOy的原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系Ox，曲線E的極坐標(biāo)方程為ρ=4cosθ，直線l₁與曲線E相交于A、B兩點(diǎn)，過點(diǎn)P的直線l₂與曲線E相交于C、D兩點(diǎn)，且l₁⊥l₂．
（1）平面直角坐標(biāo)系中，求直線l₁的一般方程和曲線E的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）求證：AB²+CD²為定值．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)α=90⁰時(shí)，直線l₁垂直于x軸，其一般方程為x-1=0；當(dāng)α≠90⁰時(shí)，直線l₁的斜率為tanα，所以其方程為（tanα）x-y-tanα-1=0．E的極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為ρ²=4ρcosθ，由=ρcosθ，y=ρsinθ，能求出結(jié)果．
（2）設(shè)直線l₁的參數(shù)方程為$\left\{{\begin{array}{l}{x=1+tcosα}\\{y=-1+tsinα}\end{array}}\right.$（t為參數(shù)），代入曲線E的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x-2）²+y²=4，由此能證明AB²+CD²=12+4sin2α+12-4sin2α=24為定值．

解答 解：（1）因?yàn)橹本�l₁的傾斜角為α，且經(jīng)過點(diǎn)P（1，-1），
當(dāng)α=90⁰時(shí)，直線l₁垂直于x軸，所以其一般方程為x-1=0，
當(dāng)α≠90⁰時(shí)，直線l₁的斜率為tanα，所以其方程為y+1=tanα（x-1），
即一般方程為（tanα）x-y-tanα-1=0．
因?yàn)镋的極坐標(biāo)方程為ρ=4cosθ，所以ρ²=4ρcosθ，
因?yàn)閤=ρcosθ，y=ρsinθ，所以x²+y²=4x．
所以曲線E的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x-2）²+y²=4．
（2）證明：設(shè)直線l₁的參數(shù)方程為$\left\{{\begin{array}{l}{x=1+tcosα}\\{y=-1+tsinα}\end{array}}\right.$（t為參數(shù)），
代入曲線E的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x-2）²+y²=4，
可得（1+tcosα-2）²+（-1+tsinα）²=4，即t²-2（cosα+sinα）t-2=0，
則t₁+t₂=2（cosα+sinα），t₁t₂=-2，
所以$A{B^2}={（{{t_1}-{t_2}}）^2}={（{{t_1}+{t_2}}）^2}-4{t_1}{t_2}=4{（{cosα+sinα}）^2}+8=12+4sin2α$，
同理$C{D^2}=12+4sin2（{α+\frac{π}{2}}）=12-4sin2α$，
所以AB²+CD²=12+4sin2α+12-4sin2α=24為定值．

點(diǎn)評 本題考查曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，考查弦長的求法，考查直角坐標(biāo)方程、極坐標(biāo)方程、參數(shù)方程的互化等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，是中檔題．