Question

12．已知λ∈R，函數(shù)f（x）=e^x-ex-λ（xlnx-x+1）的導(dǎo)數(shù)為g（x）．
（1）求曲線y=f（x）在x=1處的切線方程；
（2）若函數(shù)g（x）存在極值，求λ的取值范圍；
（3）若x≥1時(shí)，f（x）≥0恒成立，求λ的最大值．

Answer 1

分析 （1）求出f′（x）=e^x-e-λlnx，f′（1）=0，又f（1）=0，得到曲線y=f（x）在x=1處的切線方程為y=0．
（2）g（x）=f′（x）=e^x-e-λlnx（x＞0），g′（x）=${e}^{x}-\frac{λ}{x}$，函數(shù)g（x）存在極值，即方程${e}^{x}-\frac{λ}{x}=0$有正實(shí)數(shù)根，⇒λ=xe^x，（x＞0），可得λ的取值范圍．
（3）由（1）、（2）可知f（1）=0，f′（1）=g（1）=0，結(jié)合（2）分λ≤e，λ＞e，討論x≥1時(shí)，是否f（x）≥0恒成立，即可．

解答 解：（1）f（x）=e^x-ex-λ（xlnx-x+1）的定義域?yàn)椋?，+∞）．
f′（x）=e^x-e-λlnx，f′（1）=0，又f（1）=0．
曲線y=f（x）在x=1處的切線方程為y=0．
（2）∵g（x）=f′（x）=e^x-e-λlnx，（x＞0），g′（x）=${e}^{x}-\frac{λ}{x}$
函數(shù)g（x）存在極值，即方程${e}^{x}-\frac{λ}{x}=0$有正實(shí)數(shù)根，
⇒λ=xe^x，（x＞0），
令G（x）=xe^x，G′（x）=x（e^x+1）＞0在（0，+∞）恒成立．
x∈（0，+∞）時(shí)，G（x）＞0，
∴函數(shù)g（x）存在極值，λ的取值范圍為（0，+∞）．
（3）由（1）、（2）可知f（1）=0，f′（1）=g（1）=0
結(jié)合（2）x≥1時(shí)，g′（x）=${e}^{x}-\frac{λ}{x}$≥0，可得λ≤xe^x，（x≥1），
G（x）=xe^x，在（1，+∞）恒成立．
∴λ≤e時(shí)，g′（x）≥0，g（x）在[1，+∞）遞增，g（x）≥g（1）=0
故f（x）在[1，+∞）遞增，∴f（x）≥f（1）=0．
當(dāng)λ＞e時(shí)，存在x₀＞1，使g′（x）=0，∴x∈（1，x₀）時(shí)，g′（x）＜0，
即x∈（1，x₀）時(shí)，g（x）遞減，而g（1）=0，
∴x∈（1，x₀）時(shí)，g（x）＜0，此時(shí)f（x）遞減，而f（1）=0，
∴在（1，x₀），f（x）＜0，故當(dāng)λ＞e時(shí)，f（x）≥0不恒成立；
綜上x≥1時(shí)，f（x）≥0恒成立，λ的最大值為e

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)求極值、證明函數(shù)恒等式，屬于難題