Question

（本小題滿分10分）

已知△ABC的三邊長都是有理數(shù)。

求證cosA是有理數(shù)；（2）求證：對任意正整數(shù)n，cosnA是有理數(shù)。

Answer 1

[解析] 本題主要考查余弦定理、數(shù)學(xué)歸納法等基礎(chǔ)知識，考查推理論證的能力與分析問題、解決問題的能力。滿分10分。

（方法一）（1）證明：設(shè)三邊長分別為，，∵是有理數(shù)，

是有理數(shù)，分母為正有理數(shù)，又有理數(shù)集對于除法的具有封閉性，

∴必為有理數(shù)，∴cosA是有理數(shù)。

（2）①當(dāng)時，顯然cosA是有理數(shù)；

當(dāng)時，∵，因?yàn)閏osA是有理數(shù)， ∴也是有理數(shù)；

②假設(shè)當(dāng)時，結(jié)論成立，即coskA、均是有理數(shù)。

當(dāng)時，，

，

，

解得：

∵cosA，，均是有理數(shù)，∴是有理數(shù)，

∴是有理數(shù)。

即當(dāng)時，結(jié)論成立。

綜上所述，對于任意正整數(shù)n，cosnA是有理數(shù)。

（方法二）證明：（1）由AB、BC、AC為有理數(shù)及余弦定理知

是有理數(shù)。

（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明cosnA和都是有理數(shù)。

①當(dāng)時，由（1）知是有理數(shù)，從而有也是有理數(shù)。

②假設(shè)當(dāng)時，和都是有理數(shù)。

當(dāng)時，由，

，

及①和歸納假設(shè)，知和都是有理數(shù)。

即當(dāng)時，結(jié)論成立。

綜合①、②可知，對任意正整數(shù)n，cosnA是有理數(shù)。