Question

設(shè)定義在R上的函數(shù)（a₀，a₁，a₂，a₃∈R），當(dāng)x=-1時(shí)，f（x）取極大值，且函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（0，0）對(duì)稱．
（Ⅰ）求f（x）的表達(dá)式；
（Ⅱ）試在函數(shù)y=f（x）的圖象上求兩點(diǎn)，使以這兩點(diǎn)為切點(diǎn)的切線互相垂直，且切點(diǎn)的橫坐標(biāo)都在上；
（Ⅲ）設(shè)，，求證：．

Answer 1

（Ⅰ）解：由f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（0，0）對(duì)稱，即f（x）是奇函數(shù)，所以．
由題意當(dāng)x=-1時(shí)，f（x）取極大值，得，所以，．
所以，所求．…（4分）
（ II）解：f'（x）=x²-1．設(shè)所求兩點(diǎn)為（x₁，f（x₁）），（x₂，f（x₂）），x₁，x₂∈[，得
因?yàn)?img class='latex' src='http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/530108.png' />，所以或
即x₁=0，x₂=±或x₁=，x₂=0
從而可得所求兩點(diǎn)的坐標(biāo)為：（0，0），或者（0，0），．…（8分）
（III）證明：，當(dāng)時(shí)，f'（x）＜0，即在上遞減，得，即．
∵，由導(dǎo)數(shù)可得，即，
所以…（12分）
分析：（Ⅰ）由f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（0，0）對(duì)稱，即f（x）是奇函數(shù)，可得，根據(jù)當(dāng)x=-1時(shí)，f（x）取極大值，建立方程組，即可求得函數(shù)的不等式；
（ II）設(shè)所求兩點(diǎn)為（x₁，f（x₁）），（x₂，f（x₂）），x₁，x₂∈[，利用兩點(diǎn)為切點(diǎn)的切線互相垂直即可求得點(diǎn)的坐標(biāo)；
（III）確定f（y_m）的最大值，f（x_n）的最小值，即可證得結(jié)論．
點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的極值，考查函數(shù)的最值，考查不等式的證明，正確求導(dǎo)，確定函數(shù)的最值是關(guān)鍵．