Question

3． 某工件的三視圖如圖所示．現(xiàn)將該工件通過切削，加工成一個體積盡可能大的長方體新工件，并使新工件的一個面落在原工件的一個面內(nèi)，則原工件材料的利用率為（材料利用率=$\frac{新工件的體積}{原工件的體積}$）（　�。�

• A． $\frac{8}{9π}$
• B． $\frac{16}{9π}$
• C． $\frac{4（\sqrt{2}-1）^{3}}{π}$
• D． $\frac{12（\sqrt{2}-1）^{3}}{π}$

Answer 1

分析 根據(jù)三視圖可判斷其為圓錐，底面半徑為1，高為2，求解體積．
利用幾何體的性質(zhì)得出此長方體底面邊長為n的正方形，高為x，
利用軸截面的圖形可判斷得出n=$\sqrt{2}$（1-$\frac{1}{2}x$），0＜x＜2，求解體積式子，利用導(dǎo)數(shù)求解即可，最后利用幾何概率求解即．

解答 解：根據(jù)三視圖可判斷其為圓錐，
∵底面半徑為1，高為2，
∴V=$\frac{1}{3}×π×{1}^{2}$×2=$\frac{2π}{3}$

∵加工成一個體積盡可能大的長方體新工件，
∴此長方體底面邊長為n的正方形，高為x，
∴根據(jù)軸截面圖得出：$\frac{x}{2}$=$\frac{1-\frac{\sqrt{2}n}{2}}{1}$，
解得；n=$\sqrt{2}$（1-$\frac{1}{2}x$），0＜x＜2，
∴長方體的體積Ω=2（1-$\frac{1}{2}x$）²x，Ω′=$\frac{3}{2}$x²-4x+2，
∵，Ω′=$\frac{3}{2}$x²-4x+2=0，x=$\frac{2}{3}$，x=2，
∴可判斷（0，$\frac{2}{3}$）單調(diào)遞增，（$\frac{2}{3}$，2）單調(diào)遞減，
Ω最大值=2（1-$\frac{1}{2}×\frac{2}{3}$）²×$\frac{2}{3}$=$\frac{16}{27}$，
∴原工件材料的利用率為$\frac{\frac{16}{27}}{\frac{2π}{3}}$=$\frac{16}{27}$×$\frac{3}{2π}$=$\frac{8}{9π}$，
故選：A

點評 本題很是新穎，知識點融合的很好，把立體幾何，導(dǎo)數(shù)，概率都相應(yīng)的考查了，綜合性強，屬于難題．