Question

設{a_n}為等比數列，且其滿足：S_n=2ⁿ+a．
（1）求a的值及數列{a_n}的通項公式；
（2）數列{b_n}的通項公式為bn=-

n

an

，求數列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析：（1）n=1時，求出a₁，n≥2時，利用a_n=S_n-S_n-1可求出數列{a_n}的通項公式；
（2）根據數列{b_n}的通項公式為bn=-

n

an

可知數列{b_n}的前n項和T_n可利用錯位相減法進行求解．

解答：解：（1）n=1時，a₁=2+an≥2時，a_n=S_n-S_n-1=2^n-1
∵{a_n}為等比數列∴a₁=2+a=2^1-1=1∴a=-1
∴{a_n}的通項公式為a_n=2^n-1（6分）
（2）bn=-

n

an

=-

n

2n-1

Tn=-(1•1+2•

1

2

+3•

1

22

+…n•

1

2n-1

)  ①

1

2

Tn=-[  1•

1

2

+2•

1

22

+…(n-1)

1

2n-1

+n•

1

2n

]②
②-①得-

1

2

Tn=1+

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-1

-n•

1

2n

∴Tn=

n+2

2n-1

-4（14分）

點評：本題主要考查了數列的通項，以及利用錯位相減法進行求和，同時考查了計算能力，屬于中檔題．