Question

3．如圖，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為1，P為BC的中點(diǎn)，Q為線段CC₁上的動點(diǎn)，過點(diǎn)A，P，Q的平面截該正方體所得的截面記為S．則當(dāng)CQ∈（0，$\frac{1}{2}$]∪{1}．時(shí)，S為四邊形；當(dāng)CQ=$\frac{1}{2}$時(shí)S為等腰梯形；當(dāng)CQ=1時(shí)，S的面積為$\frac{\sqrt{6}}{2}$．

Answer 1

分析 當(dāng)CQ=$\frac{1}{2}$時(shí)，即Q為CC₁中點(diǎn)，PQ∥AD₁，AP=QD₁，從而得到截面APQD₁為等腰梯形；當(dāng)點(diǎn)Q向C移動時(shí)，滿足0＜CQ＜$\frac{1}{2}$或CQ=1時(shí)，只需在DD₁上取點(diǎn)M滿足AM∥PQ，即可得截面為四邊形APQM；當(dāng)CQ=1時(shí)，取A₁D₁的中點(diǎn)F，連接AF，截面為APC₁F為菱形，由此能求出其面積為$\frac{\sqrt{6}}{2}$．

解答 解：如圖，當(dāng)CQ=$\frac{1}{2}$時(shí)，即Q為CC₁中點(diǎn)，
此時(shí)可得PQ∥AD₁，AP=QD₁=$\sqrt{12+（\frac{1}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
故可得截面APQD₁為等腰梯形，
∴當(dāng)CQ=$\frac{1}{2}$時(shí)，S為等腰梯形；
由上圖當(dāng)點(diǎn)Q向C移動時(shí)，滿足0＜CQ＜$\frac{1}{2}$或CQ=1時(shí)，
只需在DD₁上取點(diǎn)M滿足AM∥PQ，
即可得截面為四邊形APQM，
∴當(dāng)CQ∈（0，$\frac{1}{2}$]∪{1}時(shí)，S為四邊形；
當(dāng)CQ=1時(shí)，Q與C₁重合，取A₁D₁的中點(diǎn)F，連接AF，
由已知得PC₁∥AF，且PC₁=AF，
可知截面為APC₁F為菱形，
故其面積為$\frac{1}{2}$AC₁•PF=$\frac{1}{2}×\sqrt{3}×\sqrt{2}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
故當(dāng)CQ=1時(shí)，S的面積為$\frac{\sqrt{6}}{2}$．
故答案為：（0，$\frac{1}{2}$]∪{1}；$\frac{1}{2}$；$\frac{\sqrt{6}}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查平面截正方體所得的截面的形狀的判斷及應(yīng)用，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．