Question

經過隨機抽樣，得到1000名高三學生體重的基本情況，如下表：

	偏瘦	正常	偏胖
女生（人）	100	173	b
男生（人）	150	177	c

（1）根據研究需要，有關部門按體重偏瘦、正常、偏胖在這1000名學生中進行分層抽樣，在等額抽取男生女生的前提下，已知抽取了16名體重偏胖的學生，試求在所有抽取的學生中男生人數；
（2）假設b≥150，c≥190，求這1000名學生中，體重偏胖的男生人數少于體重偏胖的女生人數的概率．

Answer 1

分析：（1）由題意可知，體重偏胖的學生人數為b+c=400，設1000名學生中應該抽取x人，則由

x

1000

=

16

400

，解得x的值，再根據所抽取的學生中男生與女生相等，可得所有抽取的學生中男生人數．
（2）由題意可得線性約束條件

150≤b≤210 190≤c≤250 b+c=400

，畫出可行域，即圖中直角三角形ABD及其內部區(qū)域．則本題即求c＜b的概率，而由幾何概型可得c＜b的概率等于△BEM的面積除以直角三角形ABD的面積，計算求得結果．

解答：解：（1）由題意可知，體重偏胖的學生人數為b+c=400，設1000名學生中應該抽取x人，
則

x

1000

=

16

400

，解得x=40，又所抽取的學生中男生與女生相等，
故所有抽取的學生中男生人數為20人．
（2）由b+c=400，且b≥150，c≥190，可得線性約束條件

150≤b≤210 190≤c≤250 b+c=400

，
畫出可行域，即圖中直角三角形ABD及其內部區(qū)域．
則本題即求c＜b的概率．
如圖所示：設直線c=b和AB、BC的交點分別為E、F，直線EF和BD的交點為M，
故c＜b的概率等于△BEM的面積除以直角三角形ABD的面積．
再由題意可得，直角三角形ABD的面積為

1

2

×60×60=1800，
點E（190，190 ）、F（210，210），M（200，200），
故△BEM的面積為

1

2

EB•（y_M-190）=

1

2

×20×10=100，
故c＜b的概率等于 

100

1800

=

1

18

．

點評：本題主要考查分層抽樣的定義和方法，簡單的線性規(guī)劃，幾何概型的應用，屬于中檔題．