Question

11．（1）求垂直于直線x+3y-5=0且與點(diǎn)P（-1，0）的距離是$\frac{3\sqrt{10}}{5}$的直線方程；
（2）求圓心在直線y=-4x上，且與直線l：x+y-1=0相切于點(diǎn)P（3，-2）的圓的方程．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)兩直線垂直，設(shè)所求的直線方程為3x-y+k=0，再根據(jù)點(diǎn)P（-1，0）到它的距離列方程求出k的值，即得所求的直線方程；
（2）設(shè)圓的方程為（x-a）²+（y-b）²=r²（r＞0），由圓心在直線y=-4x上，并且與直線l：x+y-1=0相切于點(diǎn)P（3，-2），可以構(gòu)造a，b，r的方程組，解方程組可得a，b，r的值，進(jìn)而得到圓的方程．

解答 解：（1）由所求的直線與直線x+3y-5=0垂直，可設(shè)所求的直線方程為 3x-y+k=0，
再由點(diǎn)P（-1，0）到它的距離為$\frac{|-3+k|}{\sqrt{9+1}}$=$\frac{3\sqrt{10}}{5}$⇒|k-3|=6
解得k=9或-3；
故所求的直線方程為 3x-y+9=0或3x-y-3=0．
（2）設(shè)圓的方程為（x-a）²+（y-b）²=r²（r＞0）
由題意有：$\left\{\begin{array}{l}{b=-4a}\\{\frac{|a+b-1|}{\sqrt{2}}=r}\\{\frac{b+2}{a-3}•（-1）=-1}\end{array}\right.$
解之得a=1，b=-4，r=2$\sqrt{2}$．
∴所求圓的方程為（x-1）²+（y+4）²=8．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是直線與圓的位置關(guān)系，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查學(xué)生掌握兩直線平行以及垂直時(shí)直線方程的關(guān)系，其中根據(jù)已知構(gòu)造關(guān)于圓心坐標(biāo)及半徑的方程組，是解答本題的關(guān)鍵．