Question

函數(shù)f（x）=

ax+b

1+x2

是定義在（-1，1）上的奇函數(shù)，且f（

1

2

）=2．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）用定義證明f（x）在（-1，1）上是增函數(shù)；
（3）解不等式f（t-1）+f（t）＜0．

Answer 1

考點：函數(shù)單調性的性質,函數(shù)解析式的求解及常用方法,函數(shù)單調性的判斷與證明

專題：計算題,函數(shù)的性質及應用

分析：（1）奇函數(shù)有f（0）=0，（2）取值，作差，化簡，判號，下結論五步；（3）利用函數(shù)的單調性解答．

解答： 解：（1）由題意得，

f(0)= b 1 =0 f( 1 2 )= 1 2 a+b 1+ 1 4 =2

解得，a=5，b=0．
∴f（x）=

5x

1+x2

．
（2）證明：任取x₁、x₂∈（-1，1），且x₁＜x₂，則
f（x₁）-f（x₂）=

5x1

1+ x 2 1

-

5x2

1+ x 2 2

=

5(x1-x2)(1-x1x2)

(1+ x 2 1 )(1+ x 2 2 )

，
∵-1＜x₁＜x₂＜1，
∴（1+

x

2 1

）（1+

x

2 2

）＞0；x₁-x₂＜0；1-x₁•x₂＞0；
∴f（x₁）-f（x₂）＜0
∴f（x）在（-1，1）上是增函數(shù)．
（3）∵f（t-1）+f（t）＜0，
∴f（t-1）＜-f（t），
即f（t-1）＜f（-t），
則

-1＜t-1＜1 -1＜-t＜1 t-1＜-t

解得，0＜t＜

1

2

．

點評：本題綜合考查了函數(shù)的性質，包括了奇偶性，單調性的應用與證明，屬于基礎題．