Question

3．曲線f（x）=$\sqrt{x}$+$\frac{4}{x}$+1在（1，6）處的切線經(jīng)過過點(diǎn)A（-1，y₁），B（3，y₂），則y₁與y₂的等差中項(xiàng)為（　�。�

• A． -6
• B． -4
• C． 4
• D． 6

Answer 1

分析 由導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出曲線f（x）=$\sqrt{x}$+$\frac{4}{x}$+1在（1，6）處的切線為y=-$\frac{7}{2}x+\frac{19}{2}$，由此求出y₁，y₂，從而能求出y₁與y₂的等差中項(xiàng)．

解答 解：∵f（x）=$\sqrt{x}$+$\frac{4}{x}$+1，∴${f}^{'}（x）=\frac{1}{2\sqrt{x}}-\frac{4}{{x}^{2}}$，
∴f′（1）=$\frac{1}{2}-4$=-$\frac{7}{2}$，
∴曲線f（x）=$\sqrt{x}$+$\frac{4}{x}$+1在（1，6）處的切線為：y-6=-$\frac{7}{2}（x-1）$，即y=-$\frac{7}{2}x+\frac{19}{2}$，
∵切線經(jīng)過過點(diǎn)A（-1，y₁），B（3，y₂），
∴${y}_{1}=\frac{7}{2}+\frac{19}{2}=13$，${y}_{2}=-\frac{7}{2}×3+\frac{19}{2}$=-1，
∴y₁與y₂的等差中項(xiàng)：
A=$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$=$\frac{13-1}{2}$=6．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等差中項(xiàng)的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意導(dǎo)數(shù)的幾何意義的合理運(yùn)用．