Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n且﹣2S_n﹣a_nS_n+1=0，n=1，2，3…

（1）求a₁，a₂

（2）求S_n與S_n﹣1（n≥2）的關(guān)系式，并證明數(shù)列{}是等差數(shù)列．

（3）求S₁•S₂•S₃…S₂₀₁₀•S₂₀₁₁的值．

Answer 1

考點(diǎn)：

等差關(guān)系的確定；數(shù)列的求和；數(shù)列遞推式．

專題：

計(jì)算題；等差數(shù)列與等比數(shù)列．

分析：

（1）對(duì)已知等式分別取n=1、n=2，解關(guān)于a₁、a₂的方程，即可得到a₁，a₂的值．

（2）將a_n=S_n﹣S_n﹣1代入已知等式，化簡(jiǎn)整理得到S_n=，代入并整理得到=﹣1+，由此即可得到數(shù)列{}是以﹣2為首項(xiàng)，公差等于﹣1的等差數(shù)列．

（3）由（2）結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，可得S_n=，再分別取n=1、2、3、…、2011代入題中的式子，化簡(jiǎn)即可得到S₁•S₂•S₃•…•S₂₀₁₀•S₂₀₁₁的值

解答：

解：（1）∵S_n²﹣2S_n﹣a_nS_n+1=0，

∴取n=1，得S₁²﹣2S₁﹣a₁S₁+1=0，即a₁²﹣2a₁﹣a₁²+1=0，解之得a₁=，

取n=2，得S₂²﹣2S₂﹣a₂S₂+1=0，即（+a₂）²﹣2（+a₂）﹣a₂（+a_2）+1=0，解之得a₂=

（2）由題設(shè)S_n²﹣2S_n﹣a_nS_n+1=0，

當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n﹣S_n﹣1，代入上式，化簡(jiǎn)得S_nS_n﹣1﹣2S_n+1=0

∴S_n=，可得S_n﹣1﹣1=﹣1=

∴==﹣1+

∴數(shù)列{}是以=﹣2為首項(xiàng)，公差d=﹣1的等差數(shù)列．

（3）由（2）得=﹣2+（n﹣1）×（﹣1）=﹣n﹣1，

可得S_n=1﹣=

∴S₁•S₂•S₃•…•S₂₀₁₀•S₂₀₁₁=×××…××=

即S₁•S₂•S₃•…•S₂₀₁₀•S₂₀₁₁的值為．

點(diǎn)評(píng)：

本題給出數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n與a_n的關(guān)系式，求通項(xiàng)公式并證明新的等差數(shù)列，著重考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、數(shù)列前n項(xiàng)和S_n與a_n的關(guān)系等知識(shí)，屬于中檔題．