Question

已知數(shù)列{a_n}滿足：a₁=2，a_n+1=a_n²-na_n+1，令b_n=

1

a n•a n+1

，則數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和Sn=

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系，求出數(shù)列的前幾項(xiàng)，根據(jù)歸納推理得到數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，利用裂項(xiàng)法即可求出數(shù)列的前n項(xiàng)和．

解答： 解：當(dāng)n=1時(shí)，a₂=a₁²-a₁+1=4-2+1=3，
當(dāng)n=2時(shí)，a₃=a₂²-2a₂+1=9-6+1=4，
當(dāng)n=3時(shí)，a₄=a₃²-3a₃+1=16-12+1=5，
當(dāng)n=4時(shí)，a₅=a₄²-4a₄+1=25-20+1=6，
則由歸納法可知a_n=n+1，
則b_n=

1

a n•a n+1

=

1

(n+1)(n+2)

=

1

n+1

-

1

n+2

，
則數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n=

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n+1

-

1

n+2

=

1

2

-

1

n+2

，
故答案為：

1

2

-

1

n+2

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查數(shù)列的求和計(jì)算，根據(jù)條件歸納出數(shù)列數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，利用裂項(xiàng)法是解決本題的關(guān)鍵．