Question

11．已知O是平面上一定點(diǎn)，A，B，C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OA}$+λ（${\frac{{\overrightarrow{AB}}}{{|{\overrightarrow{AB}}|cosB}}$+$\frac{{\overrightarrow{AC}}}{{|{\overrightarrow{AC}}|cosC}}}$），λ∈（0，+∞），則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡一定通過△ABC的（　　）

• A． 重心
• B． 垂心
• C． 外心
• D． 內(nèi)心

Answer 1

分析 可先根據(jù)數(shù)量積為零得出 $\overrightarrow{BC}$與λ（${\frac{{\overrightarrow{AB}}}{{|{\overrightarrow{AB}}|cosB}}$+$\frac{{\overrightarrow{AC}}}{{|{\overrightarrow{AC}}|cosC}}}$），垂直，可得點(diǎn)P在BC的高線上，從而得到結(jié)論．

解答 解：由$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OA}$+λ（${\frac{{\overrightarrow{AB}}}{{|{\overrightarrow{AB}}|cosB}}$+$\frac{{\overrightarrow{AC}}}{{|{\overrightarrow{AC}}|cosC}}}$）⇒$\overrightarrow{OP}$-$\overrightarrow{OA}$=λ（${\frac{{\overrightarrow{AB}}}{{|{\overrightarrow{AB}}|cosB}}$+$\frac{{\overrightarrow{AC}}}{{|{\overrightarrow{AC}}|cosC}}}$）⇒，$\overrightarrow{AP}$=λ（${\frac{{\overrightarrow{AB}}}{{|{\overrightarrow{AB}}|cosB}}$+$\frac{{\overrightarrow{AC}}}{{|{\overrightarrow{AC}}|cosC}}}$），
又∵$\overrightarrow{BC}•$$\overrightarrow{AP}$=λ（${\frac{{\overrightarrow{AB}}}{{|{\overrightarrow{AB}}|cosB}}$+$\frac{{\overrightarrow{AC}}}{{|{\overrightarrow{AC}}|cosC}}}$）$•\overrightarrow{BC}$=-|$\overrightarrow{BC}$|+|$\overrightarrow{BC}$|=0，∴$\overrightarrow{AP}⊥\overrightarrow{BC}$
∴點(diǎn)P在BC的高線上，即P的軌跡過△ABC的垂心
故選B．

點(diǎn)評 本題主要考查了向量在幾何中的應(yīng)用、空間向量的加減法、軌跡方程、以及三角形的五心等知識(shí)，屬于中檔題．