Question

7．已知定義在R上的函數(shù)y=f（x）是偶函數(shù)，且當x≥0時，f（x）=2^x-1．
（I）當x∈[-1，m]（m＞-1）時，求f（x）的值域；
（Ⅱ）x∈[a，b]，函數(shù)的值域為[$\frac{1}{2}$，2]，求實數(shù)a，b滿足的條件．

Answer 1

分析 （I）根據(jù)函數(shù)奇偶性的，利用對稱性求出函數(shù)f（x）的解析式，利用函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)的圖象即可當x∈[-1，m]（m＞-1）時，求f（x）的值域；
（Ⅱ）根據(jù)函數(shù)值域，求出函數(shù)值對應的變量，結(jié)合函數(shù)的值域建立條件關(guān)系即可得到結(jié)論．

解答 解：（I）若x＜0，則-x＞0，
則f（-x）=2^-x-1．
∵函數(shù)y=f（x）是偶函數(shù)，
∴f（-x）=2^-x-1=f（x），
即f（x）=2^-x-1，x＜0．
當x=-1時，f（-1）=2⁰=1，
當x≥0時，由f（x）=2^x-1=1，得x-1=0，解得x=1，
當-1＜m＜0時，函數(shù)f（x）的最大值為f（-1）=1，最小值為f（m）=2^-m-1，此時值域為[2^-m-1，1]，
當0≤m≤1時，函數(shù)f（x）的最大值為f（-1）=1，最小值為f（0）=$\frac{1}{2}$，此時值域為[$\frac{1}{2}$，1]，
當m＞1時，函數(shù)f（x）的最大值為f（m）=2^m-1，最小值為f（0）=$\frac{1}{2}$，此時值域為[$\frac{1}{2}$，2^m-1]；
（Ⅱ）f（0）=$\frac{1}{2}$，由2^x-1=2，得x-1=1，即x=2，由2^-x-1=2，得-x-1=1，即x=-2，
若x∈[a，b]，函數(shù)的值域為[$\frac{1}{2}$，2]，
則0∈[a，b]，且a=-2，或b=2，
若a=-2，則0≤b≤2，
若b=2，則-2≤a≤0．

點評 本題主要考查函數(shù)奇偶性的應用，以及函數(shù)值域的求解，利用函數(shù)圖象結(jié)合函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．注意要進行分類討論．