Question

【題目】已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在 軸上，離心率為 ，且經(jīng)過(guò)點(diǎn) ，直線(xiàn) ： 交橢圓于 ， 兩不同的點(diǎn).
（1）求橢圓的方程；
（2）若直線(xiàn) 不過(guò)點(diǎn) ，求證：直線(xiàn) ， 與 軸圍成等腰三角形.

Answer 1

【答案】
（1）解：設(shè)橢圓方程為 ，因?yàn)? ，所以 ，

又橢圓過(guò)點(diǎn) ，所以 ，解得 ， ，故橢圓的方程為

（2）解：將 代入 并整理得 ，

再根據(jù) ，求得 .

設(shè)直線(xiàn) ， 斜率分別為 和 ，只要證 即可.

設(shè) ， ，則 ， ，

∴

而此分式的分子等于

可得

因此 ， 與 軸所圍成的三角形為等腰三角形.

【解析】（1）根據(jù)橢圓離心率公式e=及a2=b2+c2得到a，b的關(guān)系式，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓方程，兩方程聯(lián)立求出a2，b2即可；（2）聯(lián)立直線(xiàn)方程和橢圓方程，消去y，利用二次方程根與系數(shù)關(guān)系寫(xiě)出點(diǎn)A和點(diǎn)B橫坐標(biāo)滿(mǎn)足的關(guān)系式，將kMA+kMB用 點(diǎn)A和點(diǎn)B橫坐標(biāo)，只要證出kMA+kMB=0即可.