Question

19．在直角坐標系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{3}cosα\\ y=sinα\end{array}\right.$（α為參數(shù)），若以原點為極點，x軸非負半軸為極軸建立極坐標系，直線l的極坐標方程為ρ（sinθ-cosθ）=4，
（1）已知點M的極坐標為（2$\sqrt{2}$，$\frac{π}{4}$），寫出點M關(guān)于直線l對稱點M′的直角坐標；
（2）設(shè)點Q是曲線C上的一個動點，求它到直線l的距離的最小值與最大值．

Answer 1

分析 （1）把極坐標化為直角坐標，利用垂直平分線的性質(zhì)即可得出．
（2）利用點到直線的距離公式、三角函數(shù)的單調(diào)性與值域、和差公式即可得出．

解答 解：（1）直線l的極坐標方程為ρ（sinθ-cosθ）=4，化為直角坐標方程：x-y+4=0，
點M的極坐標為（2$\sqrt{2}$，$\frac{π}{4}$），化為直角坐標方程：（2，2），
設(shè)點M關(guān)于直線l對稱點M′的直角坐標（x，y），可得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{x+2}{2}-\frac{y+2}{2}+4=0}\\{\frac{y-2}{x-2}×1=-1}\end{array}\right.$，解得x=-2，y=6．
∴點M關(guān)于直線l的對稱點M'直角坐標為（-2，6）；
（2）由已知可設(shè)Q$（\sqrt{3}cosα，sinα）$，利用點到直線距離公式可得：$d=\frac{{|\sqrt{3}cosα-sinα+4|}}{{\sqrt{2}}}=\frac{{|2cos（α+\frac{π}{6}）+4|}}{{\sqrt{2}}}$∈$[\sqrt{2}，3\sqrt{2}]$，
那么到直線l的距離的最小值與最大值分別為$\sqrt{2}$與$3\sqrt{2}$．

點評 本題考查了極坐標與直角坐標方程互化、參數(shù)方程化為普通方程、垂直平分線的性質(zhì)、點到直線的距離公式、三角函數(shù)的單調(diào)性與值域、和差公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．