Question

【題目】已知橢圓的長軸長為6，離心率為.

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)設(shè)橢圓C的左右焦點分別為，，左右頂點分別為A，B，點M，N為橢圓C上位于x軸上方的兩點，且，直線的斜率為，記直線AM，BN的斜率分別為，試證明:的值為定值.

Answer 1

【答案】(1)；(2)證明見詳解.

【解析】

（1）根據(jù)長軸及離心率信息，求解，寫出橢圓方程即可；

（2）由題可知直線的方程，聯(lián)立方程組求得點坐標(biāo)，根據(jù)對稱性求得N點坐標(biāo)，再計算斜率，即可證明.

（1）由題意，可得，

又，，

聯(lián)立解得，，，

故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

（2）證明:如圖，由(1)可知，，，，

據(jù)題意，的方程為.

記直線與橢圓的另一個交點為，

設(shè)，，

∵，根據(jù)對稱性可得，

聯(lián)立消去，得

，

∵，∴，，

∵，

，

∴，

即的值為定值0.