Question

已知雙曲線的中心在原點(diǎn)，以兩條坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸，離心率是，兩準(zhǔn)線間的距離大于，且雙曲線上動(dòng)點(diǎn)P到A（2，0）的最近距離為1。

（Ⅰ）求證：該雙曲線的焦點(diǎn)不在y軸上；

（Ⅱ）求雙曲線的方程；

（Ⅲ）如果斜率為k的直線L過點(diǎn)M（0，3），與該雙曲線交于A、B兩點(diǎn)，若，試用l表示k²,并求當(dāng)時(shí)，k的取值范圍。

Answer 1

證明（Ⅰ）：設(shè)雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為2a，虛軸長(zhǎng)為2b，焦距為2c，

由，得c=a，a=b，

∴雙曲線的漸近線方程為y=±x。

若雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上，則雙曲線上任一點(diǎn)到點(diǎn)A（2，0）的距離大于點(diǎn)A到漸近線的距離，而點(diǎn)A到漸近線的距離d=>1,這與“雙曲線上動(dòng)點(diǎn)P到A（2，0）的最近距離為1”矛盾。所以雙曲線的焦點(diǎn)不在y軸上。

解（Ⅱ）：由（Ⅰ）知，雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上，

設(shè)雙曲線的方程為x²-y²=a²，P（x₀,y₀），則，

|PA|²===,

a>1.當(dāng)點(diǎn)P到A的距離最小時(shí)，x₀³a，又由得a>1，

所以，當(dāng)x₀=a時(shí)，|PA|²有最小值，即2(a-1)²+2-a²=(a-2)²=1,

∴a=3，所以,雙曲線的方程為x²-y²=9

解（Ⅲ）：設(shè)直線l的方程為y=kx+3,A（x₁,y₁）,B(x₂,y₂)

∵,

∴(-x₁,3-y₁)=l(x₂,y₂-3) , ∴x₁=-lx₂（x₁x₂<0）    ①,

由消去y得，（1-k²）x²-6kx-18=0，

x₁+x₂=     ②，    x₁x₂=<0     ③

將①分別代入②、③得，（1-l）x₂=      ④  lx₂²=    ⑤

④²¸⑤并整理得， (l>0)

令f(l)=,則

令，得l=1；令，得0<l<1；令，得l>1

當(dāng)時(shí)，,，，∴

∴，∴