Question

【題目】設(shè)函數(shù)f（x）=lg（ax﹣bx），且f（1）=lg2，f（2）=lg12

（1）求a，b的值．

（2）當(dāng)x∈[1，2]時(shí)，求f（x）的最大值．

（3）m為何值時(shí)，函數(shù)g（x）=ax的圖象與h（x）=bx﹣m的圖象恒有兩個(gè)交點(diǎn)．

Answer 1

【答案】（1）a=4，b=2； （2）當(dāng)x=2時(shí)，函數(shù)f（x）取最大值lg12，（3）

【解析】試題分析：（1）根據(jù)條件得到關(guān)于a，b的方程組求解可得a=4，b=2；（2）由（1）得：函數(shù)f（x）=lg（4x﹣2x），根據(jù)x∈[1，2]，可得，再由函數(shù)的單調(diào)性求最值；（3）設(shè)t=2x，將問題轉(zhuǎn)化成方程有兩個(gè)正解處理，根據(jù)判別式和根與系數(shù)的關(guān)系可求解。

試題解析：（1）∵f（1）=lg2，f（2）=lg12， f（x）=lg（ax﹣bx）

∴，解得。

∴a=4，b=2；

（2）由（1）得：函數(shù)f（x）=lg（4x﹣2x），

當(dāng)時(shí)， ，

∴，

∴，

故當(dāng)，即x=2時(shí)，函數(shù)f（x）取最大值lg12。

（3）若函數(shù)g（x）=ax的圖象與h（x）=bx﹣m的圖象恒有兩個(gè)交點(diǎn)．

則方程4x﹣2x=m有兩個(gè)解，

令t=2x，則t＞0，

則方程有兩個(gè)正解；

故， 解得。

所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)g（x）=ax的圖象與h（x）=bx﹣m的圖象恒有兩個(gè)交點(diǎn)。