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在平面直角坐標系xOy中，F(xiàn)是拋物線C：x2=2py（p＞0）的焦點，M是拋物線C上位于第一象限內(nèi)的任意一點，過M、F、O三點的圓的圓心為Q，點Q到拋物線C的準線的距離為．
（Ⅰ）求拋物線C的方程；
（Ⅱ）過F作斜率為的直線與拋物線交于A，B兩點，求AB的長度．
【答案】分析：（Ⅰ）設(shè)M（x，）（x＞0），Q（a，b），由題意可知b=，根據(jù)點Q到準線的距離為可解p；
（Ⅱ）由點斜式可得直線方程，代入拋物線方程消掉x可得y的二次方程，利用韋達定理及拋物線定義可得即可求得|AB|．
解答：解：（Ⅰ）F拋物線C：x2=2py（p＞0）的焦點F（0，），
設(shè)M（x，）（x＞0），Q（a，b），
由題意可知b=，則點Q到拋物線C的準線的距離為b+===，解得p=1，
于是拋物線C的方程為x2=2y．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知拋物線方程為x2=2y，焦點F（0，），
則直線方程為：y=，代入拋物線方程整理得，4y2-6y+1=0，
則，
如右圖所示：|AB|=|AF|+|BF|=（）+（）=（yA+yB）+p=+1=．
點評：本題考查拋物線的簡單性質(zhì)、直線與拋物線的位置關(guān)系，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬中檔題．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在平面直角坐標系xoy中，已知圓心在直線y=x+4上，半徑為2
2
的圓C經(jīng)過坐標原點O，橢圓
x2
a2
+
y2
9
=1(a＞0)與圓C的一個交點到橢圓兩焦點的距離之和為10．
（1）求圓C的方程；
（2）若F為橢圓的右焦點，點P在圓C上，且滿足PF=4，求點P的坐標．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，在平面直角坐標系xOy中，銳角α和鈍角β的終邊分別與單位圓交于A，B兩點．若點A的橫坐標是
3
5
，點B的縱坐標是
12
13
，則sin（α+β）的值是
16
65
16
65
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在平面直角坐標系xOy中，若焦點在x軸的橢圓
x2
m
+
y2
3
=1的離心率為
1
2
，則m的值為
4
4
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2013•泰州三模）選修4-4：坐標系與參數(shù)方程
在平面直角坐標系xOy中，已知A（0，1），B（0，-1），C（t，0），D(
3t
，0)，其中t≠0．設(shè)直線AC與BD的交點為P，求動點P的軌跡的參數(shù)方程（以t為參數(shù)）及普通方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2013•東莞一模）在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左焦點為F1（-1，0），且橢圓C的離心率e=
1
2
．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)橢圓C的上下頂點分別為A1，A2，Q是橢圓C上異于A1，A2的任一點，直線QA1，QA2分別交x軸于點S，T，證明：|OS|•|OT|為定值，并求出該定值；
（3）在橢圓C上，是否存在點M（m，n），使得直線l：mx+ny=2與圓O：x2+y2=
16
7
相交于不同的兩點A、B，且△OAB的面積最大？若存在，求出點M的坐標及對應(yīng)的△OAB的面積；若不存在，請說明理由．

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