Question

若a，b∈R，且|a|+|b|<1，證明方程x²+ax+b=0的兩個(gè)實(shí)根的絕對(duì)值小于1。

Answer 1

答案：
解析：

證明：設(shè)方程x2+ax+b=0的兩根為x1，x2，由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得：x1+x2=－a，x1x2=b，即a=－(x1+x2)，b=x1x2               ① 將①代入已知條件|a|+|b|<1，得： |x1+x2|+|x1x2|<1 ∴|x1+x2|<1－|x1x2|。 由絕對(duì)值不等式的性質(zhì)得： |x1|－|x2|≤|x1+x2|<1－|x1x2|， 則有：|x1|－|x2|<1－|x1x2|。 移項(xiàng)因式分解得： |x1|(1+|x2|)－|x2|－1<0 (1+|x2|)(|x1|－1)<0 ∵1+|x2|>0，∴|x1|－1<0 即|x1|<1。 同理可證：|x2|<1。