Question

8．已知關(guān)于x的函數(shù)f（x）=m（x²-4x+lnx）-（2m²+1）x+2lnx，其中m∈R，其在點B（1，0）處的切線所對應(yīng)的函數(shù)為g（x）=0．
（1）已知函數(shù)f（x）的圖象與直線y=k²-2k無公共點，求實數(shù)k的取值范圍；
（2）已知p≤0，若對任意的x∈[1，2]，總有f（x）≥$\frac{（p-2）x}{2}$+$\frac{p+2}{2x}$+2x-x²成立，求實數(shù)p的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）首先需要將函數(shù)f（x）的解析式具體化，由g（x）=0，則f′（1）=0，又（1，0）點在f（x）的圖象上，即f（1）=0，則由$\left\{\begin{array}{l}{f}^{'}（1）=0\\ f（1）=0\end{array}\right.$可求m，若f（x）的圖象與直線y=k²-2k無公共點，利用導(dǎo)數(shù)法求f（x）_max即可；
（2）$f（x）≥\frac{（p-2）x}{2}+\frac{p+2}{2x}+2x-{x}^{2}$恒成立，即$2f（x）-（p-2）x-\frac{p+2}{x}-4x+2{x}^{2}≥0$，
設(shè)$F（x）=2f（x）-（p-2）x-\frac{p+2}{x}-4x+2{x}^{2}=2lnx-px-\frac{p+2}{x}$由題意，則F（x）的最小值F（x）_min≥0，利用導(dǎo)數(shù)法求F（x）_min，注意對p的分類討論．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=m（x²-4x+lnx）-（2m²+1）x+2lnx的導(dǎo)數(shù)
f′（x）=m（2x-4+$\frac{1}{x}$）-（2m²+1）+$\frac{2}{x}$，
由g（x）=0，
即：函數(shù)f（x）在B（1，0）處的切線斜率為0，
即有f′（1）=0，f（1）=0，
即為2m²+m-1=0，且2m²+3m+1=0，
解得m=-1，
即有f（x）=-x²+x+lnx，
f（x）=-x²+x+lnx的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=-2x+1+$\frac{1}{x}$=$\frac{-2{x}^{2}+x+1}{2}$=$\frac{-（2x+1）（x-1）}{x}$，
當(dāng)x＞1時，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，
當(dāng)0＜x＜1時，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增．
則有f（x）在x=1處取得極大值，也為最大值，且為0，
由于函數(shù)f（x）的圖象與直線y=k²-2k無公共點，則k²-2k＞0，
解得k＞2或k＜0；
（2）設(shè)F（x）=f（x）-（$\frac{（p-2）x}{2}$+$\frac{p+2}{2x}$+2x-x² ）=lnx-$\frac{p}{2}$x-$\frac{p+2}{2x}$，
F′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{p}{2}$+$\frac{p+2}{2{x}^{2}}$=$\frac{-p{x}^{2}+2x+（p+2）}{2{x}^{2}}$，
當(dāng)p=0時，F(xiàn)′（x）=$\frac{2x+2}{2{x}^{2}}$＞0，F(xiàn)（x）在[1，2]遞增，F(xiàn)（1）=-1＜0不成立，（舍）
當(dāng)p≠0時F′（x）=$\frac{-p（x+1）（x-\frac{p+2}{p}）}{2{x}^{2}}$，
當(dāng)1+$\frac{2}{p}$＜-1，即-1＜p＜0時，F(xiàn)（x）在[1，2]遞增，F(xiàn)（1）=-p-1＜0，不成立；
當(dāng)-1＜1+$\frac{2}{p}$≤1，即p＜-1時，F(xiàn)（x）在[1，2]遞增，所以F（1）=-2p-2≥0，解得p≤-1，
所以，此時p＜-1；
當(dāng)p=-1時，F(xiàn)（x）在[1，2]遞增，成立；
綜上，p的取值范圍是（-∞，-1]．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、直線方程、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值與最值、恒成立問題、分類討論思想等．