Question

（本題滿分16分）已知函數（）.

（1）當時，求的最小值；

（2）若函數圖象上的點都在不等式組表示的平面區(qū)域內，求實數的取值范圍；

（3）若函數在上有零點，求的最小值.

 

Answer 1

（1）；（2）；（3）的最小值為.

【解析】

試題分析：（1）由函數的單調性，易得函數的最小值；（2）可將問題轉化為恒成立問題，進而通過換元，進一步轉化為一次函數問題，通過數形結合達到解決問題的目的；（3）將函數與方程之間進行等價轉化，將問題朝易于解決的方向轉化，最終求出上有零點的條件，而的幾何意義就是表示點到原點距離的平方，這樣就可以在約束條件下，求的最小值.

試題解析：（1）當時，，顯然在定義域內為增函數，.

（2）由題意可知，在上恒成立，令，則，代入得在上恒成立，即，即對恒成立，即在上恒成立，此時只需且，所以有.

（3）依題意：在上有解，

即，令，則，代入得方程在上有解，

設（），

當，即時，只需，的幾何意義就是表示點到原點距離的平方，在此條件下，有；

當，即時，只需，即，即，的幾何意義就是表示點到原點距離的平方，在此條件下，有. 所以的最小值為.

考點：函數與方程的綜合應用.