Question

在平面直角坐標系中，已知三定點A（2，1），B（0，-1），C（-2，1）和兩點D，E滿足

AD

=t

AB

，

BE

=t

BC

，t∈[0，1]．
（1）求直線DE的斜率k的取值范圍和傾斜角α的取值范圍；
（2）求線段DE的長度的最小值，并求出此時直線DE的方程．

Answer 1

考點：直線的斜率,向量數(shù)乘的運算及其幾何意義

專題：直線與圓

分析：（1）設D（a，b）；E（c，d），由

AD

=t

AB

，

BE

=t

BC

，表示出D，E的坐標，利用斜率公式表示出k，根據(jù)k=tanα及0≤α＜π求出傾斜角α的取值范圍；
（2）利用兩點距離公式表示出|DE|，利用二次函數(shù)求出其最小值，求出D，E的坐標得到直線方程．

解答： 解：（1）設D（a，b）；E（c，d），
∵

AD

=t

AB

，

BE

=t

BC

，
∴（a-2，b-1）=（-2t，-2t）；（c，d+1）=（-2t，2t）
∴D（2-2t，1-2t），E（-2t，2t-1），
k=

(2t-1)-(1-2t)

-2t-(2-2t)

=-2t+1，
∵t∈[0，1]，
∴k∈[-1，1]
∵k=tanα，
∴-1≤tanα≤1
∵0≤α＜π
∴0≤α≤

π

4

或

3π

4

≤α＜π
（2）|DE|=

(2-2t+2t)2+(1-2t-2t+1)2

=

16t2-16t+8

，（t∈[0，1]，）
當t=

1

2

時有最小值為2，此時，D（1，0），E（-1，0）
∴直線DE的方程y=0．

點評：本題考查直線的斜率公式，考查斜率與傾斜角的關系；考查兩點距離公式及函數(shù)最值的求法，屬于中檔題．