Question

6．定義運算“★”：$\overrightarrow{a}$★$\overrightarrow$=$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{a}•\overrightarrow（\overrightarrow{a}，\overrightarrow共線）}\\{\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow＞}（\overrightarrow{a}，\overrightarrow不共線）}\end{array}\right.$其中cos＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$＞表示向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$夾角的余弦，若向量$\overrightarrow{m}$=（1，3），$\overrightarrow{n}$=（x，2），試求$\overrightarrow{m}$★$\overrightarrow{n}$．

Answer 1

分析 當$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$共線時，由向量共線的坐標表示求出x值，算出數(shù)量積，當$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$不共線時，由向量的夾角公式求出cos＜$\overrightarrow{a}，\overrightarrow$＞，代入新定義得答案．

解答 解：若$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$共線，即$\overrightarrow{m}∥\overrightarrow{n}$，則1×2-3x=0，$x=\frac{2}{3}$，
∴$\overrightarrow{n}$=（x，2）=$（\frac{2}{3}，2）$，此時$\overrightarrow{m}$★$\overrightarrow{n}$=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=（1，3）•（$\frac{2}{3}，2$）=1×$\frac{2}{3}+3×2=\frac{20}{3}$；
若$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$不共線，則$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}=x+6$，
cos＜$\overrightarrow{a}，\overrightarrow$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{x+6}{\sqrt{10}•\sqrt{4+{x}^{2}}}$，
此時$\overrightarrow{m}$★$\overrightarrow{n}$=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{cos＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}＞}$=$\sqrt{40+10{x}^{2}}$．
綜上，$\overrightarrow{m}$★$\overrightarrow{n}$=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{20}{3}，x=\frac{2}{3}}\\{\sqrt{40+10{x}^{2}}，x≠\frac{2}{3}}\end{array}\right.$．

點評 本題是新定義題，考查了平面向量的數(shù)量積運算，考查了數(shù)量積的坐標表示，是基礎(chǔ)題．