Question

設(shè){a_n}是公比為q的等比數(shù)列，S_n是它的前n項和，若{S_n}是等差數(shù)列，則q＝____________．

 

Answer 1

答案：
解析：

解法一：若q≠1，則Sn＝． 若{Sn}成等差數(shù)列，則2Sn＝Sn－1＋Sn＋1， ． 因為{an}是等比數(shù)列，則a1≠0，于是2－2qn＝2－qn－1－qn＋1， 2qn＝qn－1＋qn＋1． 因為q≠0，則2q＝1＋q2，(q－1)2＝0，q＝1與q≠1矛盾． 而q＝1時，有Sn＝na1．此時 Sn＋1－Sn＝(n＋1)a1－na1＝a1． 所以{Sn}成等差數(shù)列，于是q＝1． 解法二：當(dāng)q≠1時，由{Sn}成等差數(shù)列，則S1，S2，S3成等差數(shù)列． 又S1＝a1，S2＝a1＋a1q，S3＝a1＋a1q＋a1q2， 且2S2＝S1＋S3， 則2a1＋2a1q＝a1＋(a1＋a1q＋a1q2)． 因為{an}是等比數(shù)列，則a1≠0．于是q2＝q，又q≠0，則q＝1，與q≠1矛盾． 以下同解法一．