Question

【題目】如圖，在多面體ABCDEF中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，∠BAD＝60°，四邊形BDEF是矩形，平面BDEF⊥平面ABCD，DE＝2，M為線段BF上一點(diǎn)，且DM⊥平面ACE．

（1）求BM的長(zhǎng)；

（2）求二面角A﹣DM﹣B的余弦值的大小．

Answer 1

【答案】(1)；(2).

【解析】

（1）根據(jù)DM⊥平面ACE，找出線線垂直，在平面四邊形EFBD中根據(jù)垂直關(guān)系求得線段長(zhǎng)度；

（2）由題可知直線垂直于平面，故可過(guò)與中點(diǎn)作垂線，找到二面角的平面角，從而在三角形中求解角度的大小即可.

（1）記與的交點(diǎn)為，連接，如下圖所示：

因?yàn)?/span>平面，平面，

故，

又因?yàn)?/span>//，可以確定一個(gè)平面，故均在平面中；

因?yàn)樗倪呅?/span>是菱形，且，故可得；

故在矩形中：

因?yàn)?/span>，故可得，

又因?yàn)?/span>，，

故可得，故可得.

即.

（2）記與的交點(diǎn)為，連接，如下圖所示：

因?yàn)樗倪呅?/span>為菱形，故可得，

又因?yàn)槠矫?/span>BDEF⊥平面ABCD，且平面BDEF平面ABCD

且平面，，

故可得平面；

由（1）可知，故即為二面角A﹣DM﹣B的平面角；

在中，容易知，故

在中，又，解得；

在菱形中，容易知.

故在中，因?yàn)?/span>，，故由勾股定理可得，

故.

二面角A﹣DM﹣B的余弦值的大小為.