Question

 

已知橢圓4x²＋y²＝1及直線l：y＝x＋m．

   （Ⅰ）當m為何值時，直線l與橢圓有公共點？

   （Ⅱ）若直線l被橢圓截得的線段長為，求直線的方程．

   （Ⅲ）若直線l與橢圓相交于A、B兩點，是否存在m的值，使得？若存在，求出m的值；若不存在，說明理由．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 解：（1）把直線y＝x＋m代入4x²＋y²＝1得

         5x²＋2mx＋m²－1＝0     ①                              …………1分

∴△＝4m²－20（m²－1）＝－16m²＋20≥0

－≤m≤                                           …………2分

   （2）設(shè)直線與橢圓交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）兩點，

由①得，                                       …………3分

∴（x₁＋x₂）²－4x₁x₂＝         …………4分

∴＝  …………5分

解得m＝±                                                 …………6分

∴所求直線方程為y＝x±。                                   …………7分

   （3）設(shè)直線與橢圓交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）兩點，

由①得

若存在m的值，使得，則有              …………8分            …………9分，解得                                     …………10分

又由（1）直線和橢圓有公共點，需滿足－≤m≤          …………11分

∵＜

∴存在滿足題意                                       …………12分