Question

定義函數(shù)f_n(x)=(1+x)ⁿ-1，x＞-2(n∈N*)，其導函數(shù)為f_n′(x)．

(1)求證f_n(x)≥nx；

(2)設，求證0＜x₀＜1；

(3)是否存在區(qū)間[a，b)(-∞，0]，使函數(shù)h(x)=f₃(x)-f₂(x)在區(qū)間[a，b)的值域為[ka，kb]?若存在，求出最小的A的值及相應的區(qū)間[a，b]．

Answer 1

解：(1)令g(x)=f_n(x)-nx=(1+x)ⁿ-1-nx

∵g′(x)=n(x+1)^n-1=n[(x+1)^n-1-1]

當-2＜x≤0時，g′(x)≤0；

當x＞0時，g′(x)＞0．

∴g(x)在(-2，0]上遞減，在(0，+∞)上遞增

則x=0時，g(x)_min=g(0)=0

∴g(x)≥g(x)_min=0 

即f_n(x)≥nx 

(2)∵

即

∴x₀=  易得x₀＞0

而x₀-1=

由(1)知x＞0時，(1+x)ⁿ＞1+nx

故2n+1=(1+1)ⁿ⁺¹＞n+2

∴x₀＜1  綜上  0＜x₀＜1．

(3)∵h(x)=f₃(x)-f₂(x)=x(1+x)²

h′(x)=(1+x)²+x·2(1+x)=(1+x)(1+3x)

令h′(x)=0x=-1或-

∴h′(x)在(-2，-1)及(-，+∞)為正，

在∵(-1，-)時為負值，作圖如圖所示

考查直線y=kx(k＞0)與曲線y=h(x)相交問題假設存在k滿足題意

∵在[-1，0]上，A(]為極小值點B()

當y=kx繞原點O順時針旋轉到B點時

k_min=  此時[a，b]=[，0].