Question

如圖，在棱長為l的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M為CC₁中點．
（1）求點M到面A₁BD距離的大��；
（2）求四面體A₁-BDM的體積．

Answer 1

分析：（1）取BD的中點O，連接A₁O，MO后，我們根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理及線面垂直的判定定理，得到MO的長即為點M到面A₁BD距離．
（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，將（1）中所求出各相關(guān)線段的長代入三棱錐的體積公式，即可得到答案．

解答：解：（1）已知如圖所示：
取BD的中點O，連接A₁O，MO
∵正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為1，M為CC₁中點
則易得：A₁O=

6

2

，MO=

3

2

，A₁M=

3

2

由勾股定理得：∠A₁OM為直角
則M到面A₁BD距離的大小為

3

2

（6分）
（2）由（1）可知A₁O⊥面BDM，
從而四面體A₁-BDM體積
V=

1

3

•S△BDM•A1O=

1

3

(

1

2

•

2

•

3

2

)•

6

2

=

1

4

（12分）

點評：本題考查的知識點是棱錐的體積，及空間點、線、面之間的距離運算，其中作輔助線后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理及線面垂直的判定定理，得到∠A₁OM為直角，是解答本題的關(guān)鍵．