Question

設(shè)函數(shù)f(x)=

m

3

x3+x2+2(m≠0)．
（1）若函數(shù)f（x）在x=1處取得極值，求m的值；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（3）若m＜0且f（x）的圖象與直線y=3有三個不同的交點，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先求導函數(shù)）f′（x）=mx²+2x，再根據(jù)函數(shù)f（x）在x=1處取得極值得f′（1）=m+2=0，從而可求m的值；
（2）先求導函數(shù)f/(x)=mx2+2x=mx(x+

2

m

)，令其大于0，對m進行討論，從而求得函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間．
（3）要使（x）的圖象與直線y=3有三個不同的交點，則f(x)max=f(-

2

m

)＜3，解得實數(shù)m的取值范圍．

解答：解：（1）f′（x）=mx²+2x，∵函數(shù)f（x）在x=1處取得極值，∴f′（1）=m+2=0，∴m=-2   
（2）f/(x)=mx2+2x=mx(x+

2

m

)，當m＞0時，增區(qū)間為(-∞，-

2

m

)及（0，+∞）； 當m＜0時，增區(qū)間為(0，-

2

m

)
（3）由（2）知，函數(shù)當x=-

2

m

時，函數(shù)取得最大值，要使（x）的圖象與直線y=3有三個不同的交點，則f(x)max=f(-

2

m

)＜3，解得實數(shù)m的取值范圍(-

2 3

3

，0)

點評：本題主要考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的極值，以及求最值和利用導數(shù)研究圖象等問題，屬于中檔題．