Question

如圖，在三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，AB⊥側(cè)面BB₁C₁C，已知BC＝1，∠BCC₁＝．

(1)求證：C₁B⊥平面ABC；

(2)試在棱CC₁(不包含端點(diǎn)C、C₁)上確定一點(diǎn)E的位置，使得EA⊥EB₁；

(3)在(2)的條件下，求二面角A－EB₁－A₁的平面角的正切值．

Answer 1

答案：
解析：

證明：(1)因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/60A2/1468/0018/b83710e6c6b1c5f234c4b0e6720a63fc/C/Image65.gif" width=40 HEIGHT=17>側(cè)面，故 　　在中， 　　由余弦定理有 　　 　　故有 　　而　且平面 　　　　4分 　　(2)由 　　從而　且故 　　不妨設(shè)，則，則 　　又　則 　　在中有　從而(舍負(fù)) 　　故為的中點(diǎn)時(shí)，　　8分 　　法二：以為原點(diǎn)為軸，設(shè)， 　　則 　　由　得 　　即 　　化簡(jiǎn)整理得　或 　　當(dāng)時(shí)與重合不滿足題意 　　當(dāng)時(shí)為的中點(diǎn)，故為的中點(diǎn)使　　8分 　　(3)取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，的中點(diǎn) 　　連則，連則，連則 　　連則，且為矩形， 　　又　故為所求二面角的平面角． 　　在中， 　　 　　　　12分 　　法二：由已知，所以二面角的平面角的大小為向量與的夾角 　　因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/60A2/1468/0018/b83710e6c6b1c5f234c4b0e6720a63fc/C/Image136.gif" width=142 height=26>　 　　故　　12分