Question

7．△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且BC邊上的高為$\frac{a}{2}$，則$\frac{c}+\frac{c}$的最大值為2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 利用三角形的面積計算公式得$\frac{1}{2}$•a•$\frac{a}{2}$=$\frac{1}{2}$bcsinA，求出a²=2bcsinA；利用余弦定理可得cosA=$\frac{^{2}{+c}^{2}{-a}^{2}}{2bc}$，得b²+c²=a²+2bccosA，代入$\frac{c}$+$\frac{c}$=$\frac{^{2}{+c}^{2}}{bc}$，化為三角函數(shù)求最值即可．

解答 解：因為 S_△ABC=$\frac{1}{2}$•a•$\frac{a}{2}$=$\frac{1}{2}$bcsinA，
即a²=2bcsinA；
由余弦定理得cosA=$\frac{^{2}{+c}^{2}{-a}^{2}}{2bc}$，
所以b²+c²=a²+2bccosA=2 bcsinA+2bccosA；
代入得$\frac{c}$+$\frac{c}$=$\frac{^{2}{+c}^{2}}{bc}$=2sinA+2cosA=2$\sqrt{2}$sin（A+$\frac{π}{4}$），
當(dāng)A=$\frac{π}{4}$時，$\frac{c}$+$\frac{4}$取得最大值為2$\sqrt{2}$．
故答案為：2$\sqrt{2}$．

點評 本題考查了三角形的面積計算公式、余弦定理、兩角和差的正弦計算公式的應(yīng)用問題，考查了推理能力與計算能力，是綜合性題目．