Question

2．下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又在區(qū)間（-1，1）上單調(diào)遞減的函數(shù)是（　　）

• A． f（x）=sinx
• B． f（x）=2cosx+1
• C． f（x）=2^x-1
• D． $f（x）=ln\frac{1-x}{1+x}$

Answer 1

分析 根據(jù)奇函數(shù)、偶函數(shù)的定義，正弦函數(shù)的單調(diào)性，指數(shù)函數(shù)的圖象，奇函數(shù)圖象的對稱性，以及復合函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和反比例函數(shù)的單調(diào)性便可判斷每個選項的正誤，從而找出正確選項．

解答 解：A．f（x）=sinx在（-1，1）上單調(diào)遞增，∴該選項錯誤；
B．f（x）=2cosx+1是偶函數(shù)，不是奇函數(shù)，∴該選項錯誤；
C．f（x）=2^x-1的圖象不關于原點對稱，不是奇函數(shù)，∴該選項錯誤；
D．解$\frac{1-x}{1+x}＞0$得，-1＜x＜1，且$f（-x）=ln\frac{1+x}{1-x}=-ln\frac{1-x}{1+x}=-f（x）$；
∴f（x）為奇函數(shù)；
$f（x）=ln\frac{1-x}{1+x}=ln（-1+\frac{2}{1+x}）$；
$y=-1+\frac{2}{1+x}$在（-1，1）上單調(diào)遞減，y=lnx單調(diào)遞增；
∴f（x）在（-1，1）上單調(diào)遞減，∴該選項正確．
故選：D．

點評 考查奇函數(shù)、偶函數(shù)的定義，奇函數(shù)圖象的對稱性，指數(shù)函數(shù)的圖象，以及對數(shù)函數(shù)、反比例函數(shù)及復合函數(shù)的單調(diào)性．