Question

13．已知函數(shù)f（x）=x²-$\frac{a}{x}$（a∈R），則下列結(jié)論正確的是（　�。�

• A． ?a∈R，f（x）是偶函數(shù)
• B． ?a∈R，f（x）是奇函數(shù)
• C． ?a∈（0，+∞），f（x）在（-∞，0）上是增函數(shù)
• D． ?a∈（0，+∞），f（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)

Answer 1

分析 A．根據(jù)函數(shù)偶函數(shù)的定義進行判斷．
B．根據(jù)函數(shù)奇函數(shù)的定義進行判斷．
C．求函數(shù)的導數(shù)，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性和導數(shù)的關(guān)系進行判斷．
D．求函數(shù)的導數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性和導數(shù)的關(guān)系進行判斷．

解答 解：A．當a=0時，f（x）=x²，則f（-x）=f（x），此時函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，故A正確，
B．若f（x）=x²-$\frac{a}{x}$是奇函數(shù)，
則f（-x）=-f（x），即x²+$\frac{a}{x}$=-x²+$\frac{a}{x}$，
即x²=-x²，恒成立，則x=0，此時函數(shù)f（x）無意義，故?a∈R，f（x）是奇函數(shù)錯誤，故B錯誤，
C．函數(shù)的導數(shù)f′（x）=2x+$\frac{a}{{x}^{2}}$=$\frac{2{x}^{3}+a}{{x}^{2}}$，當x＜0且a＞0時，f′（x）＜不恒成立，即此時函數(shù)f（x）在（-∞，0）上不是增函數(shù)，故C錯誤，
D..函數(shù)的導數(shù)f′（x）=2x+$\frac{a}{{x}^{2}}$，當x＞0且a＞0時，f′（x）＞0，即此時函數(shù)f（x）為增函數(shù)，故D錯誤，
故選：A．

點評 本題主要考查命題的真假判斷，涉及函數(shù)奇偶性，以及單調(diào)性的判斷，利用定義法和導數(shù)法是解決本題的關(guān)鍵．