Question

已知函數(shù)f（x）=x³-3a²x-6a²+3a（a＞0）有且僅有一個零點x₀，若x₀＞0，則a的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,函數(shù)零點的判定定理

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應用,導數(shù)的綜合應用

分析：由題意求導f′（x）=3x²-3a²=3（x+a）（x-a），則由題意知f（-a）=2a³-6a²+3a=2a（a-

3- 3

2

）（a-

3+ 3

2

）＜0，從而解得．

解答： 解：f′（x）=3x²-3a²=3（x+a）（x-a）；
則函數(shù)f（x）=x³-3a²x-6a²+3a在（-∞，-a）上是增函數(shù)，
在（-a，a）上是減函數(shù)，
在（a，+∞）上是增函數(shù)；
且f（-a）=2a³-6a²+3a=2a（a-

3- 3

2

）（a-

3+ 3

2

）；
則結合函數(shù)的圖象知，
2a（a-

3- 3

2

）（a-

3+ 3

2

）＜0；
故

3- 3

2

＜a＜

3+ 3

2

；
故答案為：（

3- 3

2

，

3+ 3

2

）．

點評：本題考查了導數(shù)的綜合應用及數(shù)形結合的數(shù)學思想應用，屬于中檔題．